多层划分树——美国数学建模竞赛题目1985-2017中文版翻译版（节选）

对各三角形进行了编号，并按照次序完成了扫描。右侧显示的是对第一、第二和第三个三角形的扫描顺序。

第1章计算几何导言1.4注释及评论17并运算，以推导出整个分子的表面模型，或计算两个分子可能相互碰撞的位置。模式识别是另一个领域，例如光学字符识别（OCR）系统，通过扫描文本稿纸识别字符。其中一个基本步骤是将字符图像与预存字符进行比较，以找到匹配的字符。这提出了一个几何问题：如何判断两个几何对象的相似程度。计算机科学中，几何算法在多个领域中都有应用，将非几何问题形式化为几何问题。第5章讨论数据库中记录可理解为高维空间中的点，介绍基于几何的数据结构，提高查询效率。计算几何在计算机科学中扮演重要角色，本书介绍的算法、数据结构及技术，是解决几何问题的强大工具。

第5章探索正交区域查找：数据库查询5.1一维区域查找125组点。这类查询涉及在特定范围内查找记录，转化为“找出落在特定与坐标轴平行的d维（超）长方体内的所有点”的问题。在计算几何中，这类查询称为矩形区域查询或正交区域查找。本章研究支持此类查询的数据结构。5.1一维区域查找首先处理一维情况，输入数据为一条直线上的点集P := { p1, …, pn }。需要查询在某一维矩形[x : x']内的所有点。问题可以有效解决，利用平衡二叉查找树T存储P的各点。T的叶子存储P中的各点，内部节点记录划分的数值。将（内部）节点v的划分值记为xv。假设：v的左子树存储不超过xv的所有点，右子树存储严格大于xv的所有点。图5-3显示了二分查找树上的一维区域查找。要报告区间[x : x']内的所有点，查找x和x'在T中的位置，叶子μ和μ'之间的点即在区间[x : x']内的点。

讨论了美国数学建模竞赛1985-2017年题目的翻译及其内容分析。重点探讨了第3章中的多边形三角剖分问题，包括画廊看守、多边形的单调块划分以及顶点类型的命名规则。具体而言，算法在进行自上而下的平面扫描时如何维护扫描线与多边形的交集，以及分裂顶点和汇合顶点对多边形局部非单调性的影响。还证明了在不含分裂顶点和汇合顶点的情况下，多边形必然是y-单调的。

美国数学建模竞赛（MCM/ICM）每年吸引全球学生参与，提升数学、计算机和团队协作能力。C题通常关注现实世界的复杂问题，要求参赛者利用数学模型分析和解决。美赛C题数据分析涉及各种图表如折线图、柱状图、散点图和饼图，帮助参赛者理解数据分布、趋势和变量关系。数据集包含丰富和复杂的信息，涵盖多维度数据，需要深入挖掘。2018年美赛数据反映了当时的社会、经济和科技问题。资源文件可能包括CSV、Excel或文件，参赛者需进行数据清洗、可视化和统计分析，选择合适数学模型如优化、仿真或机器学习，实现解决方案并解释结果。

2014年A题数学建模竞赛论文翻译

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