规范变换与Euclid空间中的线性方阵分析

§7.4 规范变换

本节讨论n维Euclid空间V的一类重要的线性变换。

定义 7.4.1

如果n维Euclid空间V的线性变换A与它的伴随变换A∗可交换，即 A A∗ = A∗ A，则A称为规范变换。根据定理7.3.6，如果n维Euclid空间V的线性变换A在V的一组基下的方阵为A，则它的伴随变换A∗在同一组基下的方阵为AT，因此可以引进规范方阵的概念如下。

定义 7.4.2

如果n阶实方阵A与它的转置AT可交换，即 A AT = AT A，则方阵A称为规范方阵。

定理 7.4.1

设A是n维Euclid空间V的线性变换，则下述命题等价：

1. A是规范变换。

2. 对任意α ∈ V，满足 ∥A(α)∥ = ∥A∗(α)∥。

3. A在V的标准正交基下的方阵为规范方阵。

证明 (1) ⇒ (2)

对任意α ∈ V，有 ∥A(α)∥² = (A(α)，A(α)) = (α，A∗ A(α))。由于A为规范变换，因此 A A∗ = A∗ A，故 ∥A(α)∥² = (α，A A∗(α)) = (A∗(α)，A∗(α)) = ∥A∗(α)∥²。

证明 (2) ⇒ (3)

设{ξ₁, ξ₂, ... , ξn}是V的标准正交基，且 A(ξ₁, ξ₂, ..., ξn) = (ξ₁, ξ₂, ..., ξn) A，其中A为n阶实方阵。由定理7.3.5，A的伴随变换A∗在这组基下的方阵为AT。对任意1 ≤ j ≤ n，得 A(ξj) = ∑k=1^n akj ξk，A∗(ξj) = ∑ℓ=1^n ajℓ ξℓ，从而 (A(ξi), A(ξj)) = ∑k=1^n aki akj。