线性空间：概念与定义

集合与运算的结合构成了数学的基石，而线性空间则是这种结合的典范体现。线性空间的概念将向量加法和标量乘法抽象出来，为我们提供了一个研究向量和其性质的通用框架。

定义

一个线性空间 V 是一个非空集合，其元素被称为向量，并定义了两种运算：

  1. 向量加法: 对于任意 α，β ∈ V，存在唯一的向量 α + β ∈ V，称为 α 和 β 的和。
  2. 标量乘法: 对于任意标量 λ ∈ F (F 是一个数域) 和向量 α ∈ V，存在唯一的向量 λα ∈ V。

这些运算满足以下公理：

  • 向量加法:
    • 结合律: (α + β) + γ = α + (β + γ)
    • 交换律: α + β = β + α
    • 零向量: 存在一个向量 0 ∈ V，使得对于任意 α ∈ V，α + 0 = α
    • 负向量: 对于任意 α ∈ V，存在一个向量 -α ∈ V，使得 α + (-α) = 0
  • 标量乘法:
    • 结合律: λ(μα) = (λμ)α
    • 单位元: 1 ⋅ α = α
    • 分配律: λ(α + β) = λα + λβ
    • 分配律: (λ + μ)α = λα + μα

其中 λ 和 μ 是标量，α 和 β 是向量。

实例

实数集 R 和复数集 C 都可以构成线性空间，其向量加法和标量乘法就是我们熟知的加法和乘法运算。此外，n 维实向量空间 R^n 和 n 维复向量空间 C^n 也都是线性空间的例子。