线性相关性在线性空间中的推广

现有的关联规则挖掘算法专注于频繁集搜索，在设定支持度和置信度时存在较大偶然性，不利于精确控制；同时未能全面反映数据整体的相关性。为了克服这些问题，引入了非线性相关的概念，用于各种类型规则的挖掘，无需人工设定参数，显著提升了规则发现的效果。

现有的关联规则挖掘算法专注于频繁集搜索，并依赖于预设的支持度和置信度，存在较大的随机性和控制困难。此外，这些规则未能全面反映数据整体的相关性。为了克服这些问题，引入了非线性相关的概念，用于各种相关类型规则的挖掘，无需人为设定参数，显著提高了规则发现的效率。

本节讨论数域 F 上的 n 维线性空间 V 的斜对称双线性函数。斜对称双线性函数满足以下性质： 对于任意向量 α ∈ V，f(α, α) = 0。 f(α, β) 在 V 的基下的方阵是斜对称的。 V 中向量关于 f(α, β) 的正交性是对称的。 斜对称双线性函数与斜对称方阵之间存在双射。 进一步，我们给出了斜对称双线性函数的准对角形形式，并证明了其秩与准对角形中非零块的数量之间的关系。

§7.4 规范变换 本节讨论n维Euclid空间V的一类重要的线性变换。 定义 7.4.1 如果n维Euclid空间V的线性变换A与它的伴随变换A∗可交换，即 A A∗ = A∗ A，则A称为规范变换。根据定理7.3.6，如果n维Euclid空间V的线性变换A在V的一组基下的方阵为A，则它的伴随变换A∗在同一组基下的方阵为AT，因此可以引进规范方阵的概念如下。 定义 7.4.2 如果n阶实方阵A与它的转置AT可交换，即 A AT = AT A，则方阵A称为规范方阵。 定理 7.4.1 设A是n维Euclid空间V的线性变换，则下述命题等价：1. A是规范变换。2. 对任意α ∈ V，满足 ∥A(α)∥ = ∥A∗(α)∥。3. A在V的标准正交基下的方阵为规范方阵。 证明 (1) ⇒ (2) 对任意α ∈ V，有 ∥A(α)∥² = (A(α)，A(α)) = (α，A∗ A(α))。由于A为规范变换，因此 A A∗ = A∗ A，故 ∥A(α)∥² = (α，A A∗(α)) = (A∗(α)，A∗(α)) = ∥A∗(α)∥²。 证明 (2) ⇒ (3) 设{ξ₁, ξ₂, ... , ξn}是V的标准正交基，且 A(ξ₁, ξ₂, ..., ξn) = (ξ₁, ξ₂, ..., ξn) A，其中A为n阶实方阵。由定理7.3.5，A的伴随变换A∗在这组基下的方阵为AT。对任意1 ≤ j ≤ n，得 A(ξj) = ∑k=1^n akj ξk，A∗(ξj) = ∑ℓ=1^n ajℓ ξℓ，从而 (A(ξi), A(ξj)) = ∑k=1^n aki akj。

快速相关算法在C语言中高效、稳定地计算两个向量之间的相关性。将其编译为fastcorr.dll后可供Matlab调用。另提供备用函数SLOWCORRELATION，仅供参考，实际计算中效率较低。

综合多篇文章，总结了计算变量相关性的三个主要参数：皮尔逊相关系数、距离相关和最大信息系数。文章详细介绍了它们各自的计算方法和应用场景。

相关性分析与相关系数 相关性分析用于探索两组数据集中数据之间的关系，即使它们采用不同的度量单位。而相关系数 (R) 则量化了这种关系的强度和方向。 计算方法： 相关系数是两组数据集的协方差与其标准偏差乘积的商。 结果解读： R > 0： 表示正相关，即一组数据中的较大值对应于另一组数据中的较大值。 R < 0> 表示负相关，即一组数据中的较大值对应于另一组数据中的较小值。 R = 0： 表示不存在线性相关关系，但并不排除其他类型的关系。 R 的绝对值越接近 1，相关性越强；越接近 0，相关性越弱。

线性空间：概念与定义 集合与运算的结合构成了数学的基石，而线性空间则是这种结合的典范体现。线性空间的概念将向量加法和标量乘法抽象出来，为我们提供了一个研究向量和其性质的通用框架。 定义 一个线性空间 V 是一个非空集合，其元素被称为向量，并定义了两种运算： 向量加法: 对于任意 α，β ∈ V，存在唯一的向量 α + β ∈ V，称为 α 和 β 的和。 标量乘法: 对于任意标量 λ ∈ F (F 是一个数域) 和向量 α ∈ V，存在唯一的向量 λα ∈ V。 这些运算满足以下公理： 向量加法: 结合律: (α + β) + γ = α + (β + γ) 交换律: α + β = β + α 零向量: 存在一个向量 0 ∈ V，使得对于任意 α ∈ V，α + 0 = α 负向量: 对于任意 α ∈ V，存在一个向量 -α ∈ V，使得 α + (-α) = 0 标量乘法: 结合律: λ(μα) = (λμ)α 单位元: 1 ⋅ α = α 分配律: λ(α + β) = λα + λβ 分配律: (λ + μ)α = λα + μα 其中 λ 和 μ 是标量，α 和 β 是向量。 实例 实数集 R 和复数集 C 都可以构成线性空间，其向量加法和标量乘法就是我们熟知的加法和乘法运算。此外，n 维实向量空间 R^n 和 n 维复向量空间 C^n 也都是线性空间的例子。

解读斯皮尔曼相关性系数 斯皮尔曼相关性系数，也称为等级相关系数，用于评估两个变量之间单调关系的强弱。它并不关注变量间具体的数值关系，而是着眼于它们在排序上的变化趋势。当一个变量的值上升时，另一个变量是倾向于同步上升还是下降，斯皮尔曼相关性系数都能将其捕捉。 这种非参数的统计方法，由英国心理学家查尔斯·斯皮尔曼于20世纪初提出，在无需假设数据服从特定分布的情况下，也能有效衡量变量间的关联程度。无论是线性关系还是非线性关系，只要存在单调趋势，斯皮尔曼相关性系数都能给出可靠的评估结果。