线性变换

该脚本使用直接线性变换 (DLT) 技术求解一般投影变换矩阵 A。给定一个 n×k 矩阵 X，其中包含 n 维空间中的列向量，以及一个 m×k 矩阵 Y，其中 Y ~ AX（~ 表示射影相等），求解 A。该解经过标准化以保证唯一性。

Jordan标准形 在有限维复数线性空间中，任何线性变换都可以表示成Jordan标准形。Jordan标准形是一种将线性变换表示为循环子空间直和的特殊矩阵形式。 定理 1：如果线性变换 A 的特征多项式为 (λ - λ1)^e1 (λ - λ2)^e2 ... (λ - λt)^et，其中 e1, e2, ..., et 为正整数，则存在基底使得 A 在这个基底下的表示为 Jordan 标准形。 推论 1：每个特征子空间都可以分解为循环子空间的直和。 定理 2：Jordan 标准形的每个循环子空间都对应于一个初等因子 (λ - λj)^mj，其中 mj 是该循环子空间的维数。 应用：Jordan 标准形在以下领域有广泛应用：- 求解线性微分方程- 稳定性分析- 控制理论

探讨几种常见线性变换的行列式和特征值之间的关系，并借助MATLAB工具进行可视化分析。 主要内容: 介绍线性变换的行列式和特征值的定义及几何意义。 探讨几种常见线性变换（如缩放、旋转、反射等）对行列式和特征值的影响。 利用MATLAB构建相应的变换矩阵，计算其行列式和特征值，并结合图形展示变换效果。 关键词: 线性变换，行列式，特征值，MATLAB，可视化分析

当使用双线性变换法设计数字滤波器时，由低通规范开始，设计过程为：

探索利用卷积运算进行双线性变换的方法，通过多项式乘法提升计算效率。

介绍了如何使用双线性变换设计巴特沃斯滤波器。在这个过程中，根据给定的通带衰减（Ap）、阻带衰减（As）、通带角频率（PCF）和阻带角频率（SCF）参数，详细讨论了设计过程。文中还包括了通过双线性变换得到的传递函数频率图和零极点图的展示。

在MATLAB编程中，线性变换后的二次型及其逆变换R，是本教程的重点内容。根据变换式，当θ=45º时，代入P和R得到。

§7.3讨论Euclid空间V中的线性函数及其定义。一个实函数f(α)，其中α ∈ V，如果对所有λ， λ ∈ R和α， α ∈ V，满足f(λα + λα) = λ f(α) + λ f(α)，则称其为V上的线性函数。例如，对于定向量β ∈ V，内积(α， β)也是V上的线性函数，记作fβ(α)。进一步，如果f(α)是V上的线性函数，则f() = 。对于任意λ， λ， . . . ， λk ∈ R和α， α， . . . ， αk ∈ V，有f( k ∑ j= λ jα j) = k ∑ j= λ j f(α j)。记Euclid空间V上所有线性函数的集合为V∗。定义V∗中的加法操作为f与f ∈ V∗时，对任意α ∈ V，有f + f(α) = f(α) + f(α)。

任意y，如果学生95002选修了y，那么学生x也选修了y。不存在这样的课程y，学生95002选修了y，而学生x没有选。

自伴变换与斜自伴变换 除了正交变换，欧氏空间中还有两类重要的规范变换：自伴变换和斜自伴变换。 定义 设 A 是 n 维欧氏空间 V 的线性变换。 如果 A 与它的伴随变换 A∗ 相同，即 A = A∗，则 A 称为自伴变换。 如果 A 满足 A∗ = −A，则 A 称为斜自伴变换。 线性变换 A 是自伴变换的充分必要条件是：对任意 α，β ∈ V，均有 (A(α), β) = (α, A(β))。 线性变换 A 是斜自伴变换的充分必要条件是：对任意 α，β ∈ V，均有 (A(α), β) = −(α, A(β))。 自伴变换和斜自伴变换都是规范变换。当然，除了正交变换、自伴变换以及斜自伴变换外，还有其他的规范变换。 自伴变换 定理 n 维欧氏空间 V 的线性变换 A 是自伴变换的充分必要条件是：A 在 V 的标准正交基下的方阵是对称方阵。 证明 设线性变换 A 在 V 的标准正交基 {α₁, α₂, ..., αn} 下的方阵是 A，则 A 的伴随变换 A∗ 在这组基下的方阵是 AT。于是 A∗ = A 等价于 AT = A。∎ 定理表明，如果在 n 维欧氏空间 V 中取定一组标准正交基 {α₁, α₂, ..., αn}，V 的自伴变换 A 便和它在这组基下的方阵相对应。这一对应是 V 的所有自伴变换集合到所有 n 阶实对称方阵集合上的一个双射。于是自伴变换即是是对称方阵的一种几何解释。 由于自伴变换是规范变换，因此关于规范变换的结论可以移到自伴变换上。当然，由于自伴变换是特殊类型的规范变换，所以相应的结论也带有某种特殊性。 由实对称方阵的特征值都是实数可知，自伴变换的特征值也都是实数。 定理 设实数 λ₁, λ₂, ..., λn 是 n 维欧氏空间 V 的自伴变换 A 的全部特征值，其中 λ₁ ≥ λ₂ ≥⋯ ≥ λn。则存在 V 的一组标准正交基，使得 A 在这组基下...