Jordan标准形

在有限维复数线性空间中，任何线性变换都可以表示成Jordan标准形。Jordan标准形是一种将线性变换表示为循环子空间直和的特殊矩阵形式。

定理 1：

如果线性变换 A 的特征多项式为 (λ - λ1)^e1 (λ - λ2)^e2 ... (λ - λt)^et，其中 e1, e2, ..., et 为正整数，则存在基底使得 A 在这个基底下的表示为 Jordan 标准形。

推论 1：

每个特征子空间都可以分解为循环子空间的直和。

定理 2：

Jordan 标准形的每个循环子空间都对应于一个初等因子 (λ - λj)^mj，其中 mj 是该循环子空间的维数。

应用：

Jordan 标准形在以下领域有广泛应用：

- 求解线性微分方程

- 稳定性分析

- 控制理论