耦合常微分方程

利用四阶 Runge-Kutta 方法数值求解一阶常微分方程 dy/dx=func(x,y) 的 MATLAB 代码。使用方法： 设置 func.m 中的 func(x, y) 设置 RungeKutta.m 中的初始条件和参数 调整 XINT、YINT、XFIN、NUM 运行 RungeKutta.m 在工作区可查看求解结果 x 和 y，可通过 plot(x, y) 可视化结果。

修改自《电化学系统》第3版附录C中的原始FORTRAN代码，John Newman的BAND数值方法在耦合常微分方程的数值解中展现了其独特价值。程序由约翰·纽曼和凯伦·托马斯-阿利亚编写，应用于Stefan-Maxwell方程和两个Dirichlet边界条件的三元扩散问题，源自Ross Taylor和R. Krishna的《多组分传质》第2章示例2.1.1。包括5个文件：autoband_test用于操作条件和初始化变量，autoband计算控制方程导数，带解决并返回变量变化，eqn包含总和为零的控制方程，matinv用于带状矩阵的反转。

常微分方程（ODEs）是数学中研究函数变化率的重要工具，广泛应用于物理、生物、化学、工程等多个领域。初值问题是常微分方程理论的核心部分，涉及如何找到满足特定初始条件的解。初值问题的基本形式为：$\frac{dy}{dx} = f(x, y), \quad y(x_0) = y_0$，其中$\frac{dy}{dx}$是关于$x$和$y$的函数$f$，$x_0$是初始点，$y_0$是在该点的初值。解的唯一性依赖于连续性和局部Lipschitz条件。Peano定理确保解的存在性，即使$f$不光滑也能找到局部解。解的性质包括连续性、微分性和一致连续性，分离变量法、积分因子法和线性方程解是常用的解法。

科学技术和工程中许多问题可以通过建立微分方程数学模型来描述，因此掌握MATLAB中的微分方程求解方法具有实际意义。

常微分方程模型分析涉及系统的输入变量为u(t)，输出变量为y(t)。系统微分方程如下：D6y + 8.8D5y + 76.1D4y + 237.3D3y + 904.4D2y + 840Dy + 186.5y = 65D4u + 327D3u + 3699.6D2u + 1187.6Du - 0.2*u。实现过程中使用了微分模块、加法器和比例器构建系统，详细求解见work21.mdl。

MATLAB可以利用四阶龙格库塔法、欧拉法和改进的欧拉法等不同数值方法来解常微分方程。

主要探讨常微分方程的数值解法，包括欧拉法、改进欧拉法和四阶龙格库塔法。针对每种方法，详细分析其原理及在MATLAB中的实现过程，提供详尽的程序代码示例。

在本程序中，我们将研究常微分方程的参数分岔图。通过ODE代码的实现，用户可以直观地观察不同参数下的分岔图行为。

使用Matlab开发均匀系统中的耦合线性微分方程。学生可以通过可视化解曲线和相位图来理解。

解决一阶常微分方程的数值方法（单步和多步）。包括欧拉方法、亨氏法、四阶Runge Kutta方法、Adams-Bashforth方法和Adams-Moulton方法。这些方法通常用于求解IVP，即一阶初始值问题，其中微分方程为y' = f(t,y)，初始条件为y(t₀) = y₀。详细参考：http://nptel.ac.in/courses/111107063/