Jacobi迭代法

这个函数解决形如Ax=b的线性方程组，通过Jacobi迭代法计算变量x=(x_1,x_2,...,x_n)。为了确保收敛，函数要求A矩阵对角线占优。虽然特别适用于3x3的A矩阵，但可以根据需求轻松修改。

利用迭代法求解方程的根 输入: 初始猜测值 x0，精度要求 eps，最大迭代次数 N0 输出: 迭代次数 i 和近似解 x，或失败信息 步骤: 设置 i = 1 当 i ≤ N0 时，执行步骤 3-6 计算： x1 = g(x0) x2 = g(x1) x = x0 - (x1 - x0)^2 / (x2 - 2x1 + x0) 如果 |x - x0| < eps> 否则，令 x0 = x，i = i + 1，返回步骤 2 如果 i > N0，则输出失败信息，表示在最大迭代次数内未找到满足精度要求的解 注意: g(x) 为原方程的等价形式，例如对于方程 f(x) = 0，可以将其改写为 x = g(x) 的形式。

matlab在解决非线性方程（使用简单迭代法、牛顿法和弦割法）方面有着广泛的应用。

详细介绍了在数值分析中利用牛顿迭代法求解非线性方程的精确解方法。

关于Matlab的优质资源，涵盖Jacobi、Gauss-seidel和SOR迭代方法的程序。

高斯-赛德尔迭代法收敛性分析 本章节深入分析了高斯-赛德尔迭代法在解决优化问题时的收敛特性。具体而言，我们关注以下形式的优化问题： min f(x) = 1/2 * x^T * A * x - b^T * x s.t. x ≥ 0 其中 A 是一个对称正定矩阵。 高斯-赛德尔迭代过程可以表示为： x^(k+1) = (D-L)^(-1) * (Ux^(k) + b) D, L, U 分别代表矩阵 A 的对角线、下三角和上三角部分。 模型KKT条件 在深入研究收敛性之前，我们需要理解与优化问题相关的KKT条件。对于非负约束的极小化问题，其一般形式为： min h(x) s.t. g_i(x) ≥ 0, i = 1, ..., m 构建拉格朗日函数： L(x, λ) = h(x) - ∑_{i=1}^m λ_i * g_i(x) KKT条件提供了一组用于检查候选解是否为最优解的必要条件。这些条件包括： 平稳性: ∇_x L(x, λ) = 0 原始可行性: g_i(x) ≥ 0, i = 1, ..., m 对偶可行性: λ_i ≥ 0, i = 1, ..., m 互补松弛条件: λ_i * g_i(x) = 0, i = 1, ..., m 通过分析模型的KKT条件，我们可以深入理解其最优解的特性，并为收敛性分析提供理论基础。

【新手探索】使用Matlab编写的程序，演示了如何利用牛顿迭代法精确求解方程的根。

Newton迭代法的收敛性受初值选取方式限制，为解决此问题，提出改进方案称为下山因子。该因子保证迭代过程单调递减，有效确保方法的收敛性。探讨了Newton下山法的局部收敛性及其应用。

这篇文章介绍了Jacobi和Gauss-Seidel方法，这两种迭代方法用于解决线性方程组。通过简单的MATLAB代码实现了这些方法，读者可以按照屏幕上的指示进行操作。

这项工作仍在进行中，遇到了容差设置上的问题，但迭代次数设置看起来是有效的。