Newton迭代法的收敛性受初值选取方式限制,为解决此问题,提出改进方案称为下山因子。该因子保证迭代过程单调递减,有效确保方法的收敛性。探讨了Newton下山法的局部收敛性及其应用。
改进Newton迭代法以提高收敛性 - 论Newton下山法的局部收敛性
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本章节深入分析了高斯-赛德尔迭代法在解决优化问题时的收敛特性。具体而言,我们关注以下形式的优化问题:
min f(x) = 1/2 * x^T * A * x - b^T * x
s.t. x ≥ 0
其中 A 是一个对称正定矩阵。
高斯-赛德尔迭代过程可以表示为:
x^(k+1) = (D-L)^(-1) * (Ux^(k) + b)
D, L, U 分别代表矩阵 A 的对角线、下三角和上三角部分。
模型KKT条件
在深入研究收敛性之前,我们需要理解与优化问题相关的KKT条件。对于非负约束的极小化问题,其一般形式为:
min h(x)
s.t. g_i(x) ≥ 0, i = 1, ..., m
构建拉格朗日函数:
L(x, λ) = h(x) - ∑_{i=1}^m λ_i * g_i(x)
KKT条件提供了一组用于检查候选解是否为最优解的必要条件。这些条件包括:
平稳性: ∇_x L(x, λ) = 0
原始可行性: g_i(x) ≥ 0, i = 1, ..., m
对偶可行性: λ_i ≥ 0, i = 1, ..., m
互补松弛条件: λ_i * g_i(x) = 0, i = 1, ..., m
通过分析模型的KKT条件,我们可以深入理解其最优解的特性,并为收敛性分析提供理论基础。
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输入信号样本矢量的独立性: 每个输入信号样本矢量 x(n) 与其历史样本矢量 x(k) (k = 0, 1, 2, ..., n-1) 统计独立且互不相关。 该假设可以用数学表达式表示为:
E[x(n)xH(k)] = 0; k = 0, 1, 2, ..., n-1 (5-16)
其中,E[ ] 表示期望运算,xH(k) 表示 x(k) 的共轭转置。
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输入: 初始猜测值 x0,精度要求 eps,最大迭代次数 N0
输出: 迭代次数 i 和近似解 x,或失败信息
步骤:
设置 i = 1
当 i ≤ N0 时,执行步骤 3-6
计算:
x1 = g(x0)
x2 = g(x1)
x = x0 - (x1 - x0)^2 / (x2 - 2x1 + x0)
如果 |x - x0| < eps>
否则,令 x0 = x,i = i + 1,返回步骤 2
如果 i > N0,则输出失败信息,表示在最大迭代次数内未找到满足精度要求的解
注意: g(x) 为原方程的等价形式,例如对于方程 f(x) = 0,可以将其改写为 x = g(x) 的形式。
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