Matlab实现共轭梯度法优化非线性最小二乘问题

在Matlab中，共轭梯度法是一种常用的优化算法，用于求解非线性最小二乘问题。该算法通过迭代求解目标函数，使得其梯度逐渐减小，最终达到最小值。下面是一个使用Matlab实现共轭梯度法的示例代码。

示例代码：

function [result, x_result, num] = conjungate_gradient(f, x0, epsilon)
    syms lambdas;
    n = length(x);
    nf = cell(1, n);
    for i = 1 : n
        nf{i} = diff(f, x{i});
    end
    nfv = subs(nf, x0);
    nfv_pre = nfv;
    count = 0;
    k = 0;
    xv = x0;
    d = - nfv;

    while (norm(nfv) > epsilon)
        xv = xv + lambdas * d;
        phi = subs(f, xv);
        nphi = diff(phi);
        lambda = solve(nphi);
        lambda = double(lambda);
        xv = subs(xv, lambdas, lambda);
        xv = double(xv);
        nfv = subs(nf, xv);
        count = count + 1;
        k = k + 1;
        alpha = sumsqr(nfv) / sumsqr(nfv_pre);
        d = -nfv + alpha * d;
        nfv_pre = nfv;
        if k >= n
            k = 0;
            d = - nfv;
        end
    end

    result = double(subs(f, xv));
    x_result = double(xv);
    num = count;
end

输入参数说明：

• f：目标函数表达式
• x0：变量的初始值
• epsilon：误差限，控制迭代精度

输出结果：

• result：目标函数的最小值
• x_result：对应最小值的变量解
• num：总迭代次数

示例测试

在测试中，我们求解以下非线性最小二乘问题：

$$f(x) = x_1^2 + 2x_2^2 - 4x_1 - 2x_1x_2$$

可以通过该共轭梯度法实现。

总结

使用共轭梯度法可在Matlab中快速优化非线性最小二乘问题，通过迭代过程逐渐接近目标函数的最小值，是求解复杂优化问题的有效方法。