计算e-最优状态估计卡尔曼，h∞及非线性滤波

在实际工作中，通常需要分析两个随机变量之间的关系，例如圆的半径与面积之间的关系，人的身高与体重之间的关系，以及国家的GDP与年份之间的关系等。这些关系可以分为确定性关系和相关关系两类。确定性关系指的是可以通过一个变量的值确定另一个变量的值，例如圆的半径和面积的函数关系。相关关系则表明两个变量的取值有一定联系，但一个变量的值不能完全决定另一个变量的值，例如人的身高与体重之间的关系。对于具有相关关系的变量，可以在平均意义下描述它们的近似关系。回归分析即用于分析这种相关关系的方法，通过回归函数来表达两个变量在平均意义下的函数关系。在回归分析中，一个变量作为自变量，另一个变量作为因变量，因变量是随机变量，而自变量可以是普通变量或随机变量。回归分析假设自变量为可控变量，而因变量则包含随机误差项。

总体：该地区的所有电视用户 样本：被访问的电话用户 总体：任意100名成年男子中吸烟人数 样本：50名学生调查所得的吸烟人数，每位学生调查100人 总体：每一盒盒装产品的不合格品数 样本：被抽取的n盒产品中每一盒的不合格品数 总体：鱼塘中的所有鱼 样本：一天后再从鱼塘里打捞出的一网鱼 总体：该厂生产的全体电容器的寿命 样本：被抽取的n件电容器

探讨在 X 和 Y 中至少有一个小于 0.5 的概率，以及从 (0,1) 中随机选取两个数，其积不小于 3/16 且其和不大于 1 的概率的计算方法。 问题一：假设 X 和 Y 是随机变量，求 X 和 Y 中至少有一个小于 0.5 的概率。 问题二：假设 X 和 Y 分别表示从 (0,1) 中随机选取的两个数，求其积不小于 3/16 且其和不大于 1 的概率。 这两个问题涉及概率计算，可以使用卡尔曼滤波、H∞滤波和非线性滤波等方法来解决。这些方法可以用于估计系统的状态，并基于这些估计来计算事件的概率。

样本联合密度函数为∑∑ == −− − = ∏∏ m i i n i i ii yx mny m i x n i mn yyxxp 1 2 1 1 21 eee),;,,,,,( 21 1 2 1 12111 λλλλλλLL ，似然函数∑∑ = == −− m i i n i i yx mnL 1 2 1 1 e),( 2121 λλλλ ， ∑∑ == −−+= m i j n i i yxmnL 1 2 1 12121 lnln),(ln λλλ ，令⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ =−= ∂ ∂ ∑ ∑ = = .0 ln ;0 ln 122 111 m i i n i i y nL x nL λλ得∑ = = n i ix n 1 1λ ， ∑ = = m i iy m 1 2λ ，则mn mm i i nn i i mn yx mn yyxxp −− == ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ∑∑ e),;,,,,,(sup 11 2111 , 21 λλ LL ，当λ1 = λ2时，似然函数⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +− + ∑∑ = == m i i n i i yx mnL 11 1 e)( 11 λ λλ ， ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +−+= ∑∑ == m i j n i i yxmnL 111 ln)()(ln λλλ ，令0 )(ln 1111 1 =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +− + = ∑∑ == m i j n i i yx mn d Ld λλ λ ，得∑∑ == + + = m i i n i i yx mn 11 1λ ，则mn mnm i i n i i mn yx mn yyxxp −−+ == + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + = ∑∑ e )( ),;,,,,,(sup 11 21 λλ LL ，故似然比检验统计量为mm i i nn i i mnm i i nn mn YXmn YYXXp YYXX ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ==Λ ∑∑ == + + == = 11 2111 , 11 )( ),;,,,,,(sup ),,,,,( 21 λλ LL m m i i n n i i mn nn m m i i n i i n n i i m i i n

第三章中，多维随机变量及其分布的习题3.1是关于100件商品中一等品50件、二等品30件、三等品20件的问题。从中任取5件商品，用X和Y分别表示选出的5件中一等品和二等品的数量。在不放回抽取和有放回抽取两种情况下，求(X, Y )的联合分布列。解答显示，(X, Y )的分布分别为多维超几何分布和多项分布。

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滤波技术对比分析 卡尔曼滤波、H∞ 滤波和非线性滤波，各自在状态估计领域中扮演着重要的角色，它们针对不同的应用场景和噪声特性，提供了独特的优势： 卡尔曼滤波： 在处理高斯白噪声线性系统时，卡尔曼滤波能够提供最优的估计结果。它基于系统的状态空间模型，通过预测和更新步骤，不断修正对系统状态的估计，从而实现对系统状态的实时跟踪。 H∞ 滤波： 当系统受到未知的噪声或干扰时，H∞ 滤波能够有效地抑制噪声的影响，保证估计误差在一定范围内。它通过最小化估计误差的 H∞ 范数，实现对系统状态的鲁棒估计。 非线性滤波： 针对非线性系统，非线性滤波提供了多种方法来应对状态估计的挑战，例如扩展卡尔曼滤波 (EKF)、无迹卡尔曼滤波 (UKF) 和粒子滤波 (PF) 等。这些方法通过不同的线性化或采样技术，近似非线性系统的状态估计问题，并提供相应的解决方案。 总而言之，选择合适的滤波方法取决于具体的应用场景和噪声特性。卡尔曼滤波适用于线性系统和高斯白噪声，H∞ 滤波适用于存在未知噪声或干扰的情况，而非线性滤波则适用于非线性系统的状态估计。

从开始观测时的初始条件k=0出发，利用等式（4）和（5）进行递推计算：当k=0时，值为1.0000；当k=1时，值为0.5000；当k=2时，值为0.4048；当k=3时，值为0.3824；当k=4时，值为0.3768；当k=5时，值为0.3755；当k=6时，值为0.3751；当k=7时，值为0.3750。这些数值展示了在未达到稳态之前的递推过程。

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