线性判别函数利用输入特征的线性组合构建决策边界。以二分类为例,判别函数 g(x) 若大于零,则样本 x 属于类别 C1;反之,若 g(x) 小于零,则样本 x 属于类别 C2。g(x)=0 定义了特征空间中的决策面,用于区分不同类别。
线性判别函数与决策边界
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f(λ₁α₁ + λ₂α₂, β) = λ₁ f(α₁, β) + λ₂ f(α₂, β) (9.4.1)
f(α, μ₁β₁ + μ₂β₂) = μ₁ f(α, β₁) + μ₂ f(α, β₂) (9.4.2)
其中 μ 表示复数 μ 的共轭复数,则二元函数 f (α, β) 称为共轭双线性的。
共轭双线性函数的性质
命题 9.4.1 设 f (α, β) 是 V 上的共轭双线性函数,则对任意 α,β ∈ V,f (α, 0) = 0 = f (0, β)
命题 9.4.2 设 f (α, β) 是 V 上的共轭双线性函数,则对任意 α₁, ... , αp,β₁, ... , βq ∈ V,λ₁, ... , λp,μ₁, ... , μq ∈ C,
f ( ∑^{k=1}{p} λₖαₖ, ∑^{ℓ=1}{q} μℓβℓ) = ∑^{k=1}{p} ∑^{ℓ=1}{q} λₖμℓ f (αₖ, βℓ) (9.4.3)
共轭双线性函数的方阵表示
V 上的共轭双线性函数 f (α, β) 在 V 的基 {ξ₁,ξ₂, ... ,ξn} 下的方阵表示如下:
设向量 α,β ∈ V 在 V 的基 {ξ₁,ξ₂, ... ,ξn} 下的坐标分别是 x = (x₁,x₂, ... ,xn) 与 y = (y₁,y₂, ... ,yn),即 α = ∑^{k=1}{n} xₖ ξₖ, β = ∑^{ℓ=1}{n} yℓ ξℓ, 则由式 (9.4.3),
f (α, β) = f ( ∑^{k=1}{n} xₖ ξₖ, ∑^{ℓ=1}{n} yℓ ξℓ) = ∑_{1⩽k,ℓ⩽n} xₖ yℓ f (ξₖ, ξℓ) (9.4.4)
记 n 阶方阵 A = ( f (ξₖ, ξℓ))_{n×n},则上式化为
f (α, β) = xAy∗ (9.4.5)
其中 y∗ = yT 是 y = (y₁,y₂, ... ,yn) 的共轭转置。方阵 A 称为共轭双线性函数 f (α, β) 在基 {ξ₁,ξ₂, ... ,ξn} 下的方阵。而式 (9.4.4) 称为 f (α, β) 在基 {ξ₁,ξ₂, ...
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