X-Y 分布的推导
为了确定 X-Y 的分布，我们可以利用指示函数和期望的性质。
首先，定义指示函数：
$$I(x,y) = begin{cases}
1, & x leq y
0, & x > y
end{cases}$$
该函数表明，当 $x leq y$ 时，函数值为 1，否则为 0。
接着，我们可以利用指示函数表示 X-Y 的概率密度函数：
$$p(x,y) = E[I(x,y)]$$
其中，$E[cdot]$ 表示期望。
将指示函数代入期望公式，得到：
$$p(x,y) = int_{-infty}^{+infty} int_{-infty}^{+infty} I(x,y) cdot p(x,y) , dx , dy$$
由于指示函数的特性，积分可以简化为：
$$p(x,y) = int_{-infty}^{y} int_{-infty}^{+infty} p(x,y) , dx , dy$$
该式表示了 X-Y 的联合概率密度函数，进而可以推导出 X-Y 的分布。