X-Y分布的推导：指示函数与期望

X-Y 分布的推导

为了确定 X-Y 的分布，我们可以利用指示函数和期望的性质。

首先，定义指示函数：

$$I(x,y) = begin{cases}

1, & x leq y

0, & x > y

end{cases}$$

该函数表明，当 $x leq y$ 时，函数值为 1，否则为 0。

接着，我们可以利用指示函数表示 X-Y 的概率密度函数：

$$p(x,y) = E[I(x,y)]$$

其中，$E[cdot]$ 表示期望。

将指示函数代入期望公式，得到：

$$p(x,y) = int_{-infty}^{+infty} int_{-infty}^{+infty} I(x,y) cdot p(x,y) , dx , dy$$

由于指示函数的特性，积分可以简化为：

$$p(x,y) = int_{-infty}^{y} int_{-infty}^{+infty} p(x,y) , dx , dy$$

该式表示了 X-Y 的联合概率密度函数，进而可以推导出 X-Y 的分布。