双线性变换

当使用双线性变换法设计数字滤波器时，由低通规范开始，设计过程为：

探索利用卷积运算进行双线性变换的方法，通过多项式乘法提升计算效率。

介绍了如何使用双线性变换设计巴特沃斯滤波器。在这个过程中，根据给定的通带衰减（Ap）、阻带衰减（As）、通带角频率（PCF）和阻带角频率（SCF）参数，详细讨论了设计过程。文中还包括了通过双线性变换得到的传递函数频率图和零极点图的展示。

在这个过程中，myIIR.m展示了利用双线性变换设计的IIR滤波器，而tuozhan_IIR.m则实现了另一种基于双线性变换的设计方法。main.m则被用于系统性能评估。

共轭双线性函数与 Hermite 型 本节推广了双线性函数的概念。设 f (α， β) 是 n 维复线性空间 V 上的二元函数。如果对任意向量 α，β，α₁，α₂，β₁，β₂ ∈ V，以及任意复数 λ₁，λ₂，μ₁，μ₂ ∈ C，均有： f(λ₁α₁ + λ₂α₂, β) = λ₁ f(α₁, β) + λ₂ f(α₂, β) (9.4.1) f(α, μ₁β₁ + μ₂β₂) = μ₁ f(α, β₁) + μ₂ f(α, β₂) (9.4.2) 其中 μ 表示复数 μ 的共轭复数，则二元函数 f (α， β) 称为共轭双线性的。 共轭双线性函数的性质 命题 9.4.1 设 f (α， β) 是 V 上的共轭双线性函数，则对任意 α，β ∈ V，f (α， 0) = 0 = f (0， β) 命题 9.4.2 设 f (α， β) 是 V 上的共轭双线性函数，则对任意 α₁， ... ， αp，β₁， ... ， βq ∈ V，λ₁， ... ， λp，μ₁， ... ， μq ∈ C， f ( ∑^{k=1}{p} λₖαₖ, ∑^{ℓ=1}{q} μℓβℓ) = ∑^{k=1}{p} ∑^{ℓ=1}{q} λₖμℓ f (αₖ， βℓ) (9.4.3) 共轭双线性函数的方阵表示 V 上的共轭双线性函数 f (α， β) 在 V 的基 {ξ₁，ξ₂， ... ，ξn} 下的方阵表示如下： 设向量 α，β ∈ V 在 V 的基 {ξ₁，ξ₂， ... ，ξn} 下的坐标分别是 x = (x₁，x₂， ... ，xn) 与 y = (y₁，y₂， ... ，yn)，即 α = ∑^{k=1}{n} xₖ ξₖ， β = ∑^{ℓ=1}{n} yℓ ξℓ， 则由式 (9.4.3)， f (α， β) = f ( ∑^{k=1}{n} xₖ ξₖ, ∑^{ℓ=1}{n} yℓ ξℓ) = ∑_{1⩽k，ℓ⩽n} xₖ yℓ f (ξₖ， ξℓ) (9.4.4) 记 n 阶方阵 A = ( f (ξₖ， ξℓ))_{n×n}，则上式化为 f (α， β) = xAy∗ (9.4.5) 其中 y∗ = yT 是 y = (y₁，y₂， ... ，yn) 的共轭转置。方阵 A 称为共轭双线性函数 f (α， β) 在基 {ξ₁，ξ₂， ... ，ξn} 下的方阵。而式 (9.4.4) 称为 f (α， β) 在基 {ξ₁，ξ₂， ...

该脚本使用直接线性变换 (DLT) 技术求解一般投影变换矩阵 A。给定一个 n×k 矩阵 X，其中包含 n 维空间中的列向量，以及一个 m×k 矩阵 Y，其中 Y ~ AX（~ 表示射影相等），求解 A。该解经过标准化以保证唯一性。

利用Matlab进行直接线性变换是一种常见的技术，特别适用于相机的校准过程。

本节讨论数域 F 上的 n 维线性空间 V 的斜对称双线性函数。斜对称双线性函数满足以下性质： 对于任意向量 α ∈ V，f(α, α) = 0。 f(α, β) 在 V 的基下的方阵是斜对称的。 V 中向量关于 f(α, β) 的正交性是对称的。 斜对称双线性函数与斜对称方阵之间存在双射。 进一步，我们给出了斜对称双线性函数的准对角形形式，并证明了其秩与准对角形中非零块的数量之间的关系。

对称双线性函数与数域上的对称方阵一一对应。这种对应关系可以将双线性函数表示为方阵形式，方便计算和分析。

在MATLAB平台上，利用双线性插值技术实现了图像的任意倍数放大和缩小。