对称双线性函数与数域上的对称方阵一一对应。这种对应关系可以将双线性函数表示为方阵形式,方便计算和分析。
对称双线性函数与二次型
相关推荐
共轭双线性函数与 Hermite 型
共轭双线性函数与 Hermite 型
本节推广了双线性函数的概念。设 f (α, β) 是 n 维复线性空间 V 上的二元函数。如果对任意向量 α,β,α₁,α₂,β₁,β₂ ∈ V,以及任意复数 λ₁,λ₂,μ₁,μ₂ ∈ C,均有:
f(λ₁α₁ + λ₂α₂, β) = λ₁ f(α₁, β) + λ₂ f(α₂, β) (9.4.1)
f(α, μ₁β₁ + μ₂β₂) = μ₁ f(α, β₁) + μ₂ f(α, β₂) (9.4.2)
其中 μ 表示复数 μ 的共轭复数,则二元函数 f (α, β) 称为共轭双线性的。
共轭双线性函数的性质
命题 9.4.1 设 f (α, β) 是 V 上的共轭双线性函数,则对任意 α,β ∈ V,f (α, 0) = 0 = f (0, β)
命题 9.4.2 设 f (α, β) 是 V 上的共轭双线性函数,则对任意 α₁, ... , αp,β₁, ... , βq ∈ V,λ₁, ... , λp,μ₁, ... , μq ∈ C,
f ( ∑^{k=1}{p} λₖαₖ, ∑^{ℓ=1}{q} μℓβℓ) = ∑^{k=1}{p} ∑^{ℓ=1}{q} λₖμℓ f (αₖ, βℓ) (9.4.3)
共轭双线性函数的方阵表示
V 上的共轭双线性函数 f (α, β) 在 V 的基 {ξ₁,ξ₂, ... ,ξn} 下的方阵表示如下:
设向量 α,β ∈ V 在 V 的基 {ξ₁,ξ₂, ... ,ξn} 下的坐标分别是 x = (x₁,x₂, ... ,xn) 与 y = (y₁,y₂, ... ,yn),即 α = ∑^{k=1}{n} xₖ ξₖ, β = ∑^{ℓ=1}{n} yℓ ξℓ, 则由式 (9.4.3),
f (α, β) = f ( ∑^{k=1}{n} xₖ ξₖ, ∑^{ℓ=1}{n} yℓ ξℓ) = ∑_{1⩽k,ℓ⩽n} xₖ yℓ f (ξₖ, ξℓ) (9.4.4)
记 n 阶方阵 A = ( f (ξₖ, ξℓ))_{n×n},则上式化为
f (α, β) = xAy∗ (9.4.5)
其中 y∗ = yT 是 y = (y₁,y₂, ... ,yn) 的共轭转置。方阵 A 称为共轭双线性函数 f (α, β) 在基 {ξ₁,ξ₂, ... ,ξn} 下的方阵。而式 (9.4.4) 称为 f (α, β) 在基 {ξ₁,ξ₂, ...
算法与数据结构
4
2024-05-27
n维线性空间中的斜对称双线性函数
本节讨论数域 F 上的 n 维线性空间 V 的斜对称双线性函数。斜对称双线性函数满足以下性质:
对于任意向量 α ∈ V,f(α, α) = 0。
f(α, β) 在 V 的基下的方阵是斜对称的。
V 中向量关于 f(α, β) 的正交性是对称的。
斜对称双线性函数与斜对称方阵之间存在双射。
进一步,我们给出了斜对称双线性函数的准对角形形式,并证明了其秩与准对角形中非零块的数量之间的关系。
算法与数据结构
4
2024-06-11
实线性空间二次型化简
利用正交变换将二次型化简为正惯性指数与负惯性指数之和,且正惯性指数在前,负惯性指数在后。
算法与数据结构
3
2024-05-26
优化空间二次曲面构成的双线性插值方法
双线性插值函数描述了由空间二次曲面构成的数据片段。插值函数通过四个插值节点的函数值来确定四个系数,确保了插值结果的准确性和精度。该方法在数学建模和数据分析中具有重要应用。
算法与数据结构
3
2024-07-18
二次函数值域计算器
该程序接受二次函数的系数 (a, b, c) 和定义域边界 (x1, x2),并计算函数在该定义域内的取值范围。
Matlab
3
2024-05-16
MATLAB有限元二次线性单元应力分析
MATLAB有限元分析源代码,提供二次线性单元的应力分析功能。
Matlab
3
2024-05-30
MATLAB编程教程图形图像处理中的线性变换及其二次型应用
在MATLAB编程中,线性变换后的二次型及其逆变换R,是本教程的重点内容。根据变换式,当θ=45º时,代入P和R得到。
Matlab
0
2024-08-30
具有二次范数约束的二次最小化问题在Matlab中开发
这个例程解决了最小化任意二次函数的问题,受变量l2范数约束。它通常作为信任域算法中的一个子问题出现,但也适用于其他领域。使用方法:当doEquality=true(默认)时,解决的是最小化问题J(x) = x.'Qx/2-dot(b,x),在保证||x|| = w的情况下。返回的变量xmin和Jmin分别表示最小化后的变量x及其目标函数值J(x)。当doEquality=false时,问题变为在||x|| <= w的约束下求解。Q假定为对称但不一定是半正定的,因此目标函数J(x)可能是非凸的。该例程基于特征分解,适用于Q不太大的情况。
Matlab
1
2024-07-29
基于MATLAB平台的双线性插值技术应用
在MATLAB平台上,利用双线性插值技术实现了图像的任意倍数放大和缩小。
Matlab
0
2024-08-24