GPU上矩阵乘法优化实践

Matlab 矩阵乘法代码，支持稀疏/密集向量和矩阵，提供基本的线性代数运算。还支持稀疏和密集元组，以及字节码优化。

在处理张量数组（即矩阵数组）时，张量矩阵乘法包含矩阵转置操作。对于给定的张量A和B，通过向量化处理可以显著提高计算速度。例如，使用C = tmult(A, B)，其中tmult函数支持快速的多维度扩展，如bsxfun风格的操作。这种方法不仅能够有效处理大小不一的张量，还能在运算过程中实现高效的矩阵乘法运算。

矩阵的加减运算 矩阵的加减运算要求两个矩阵的行数和列数必须相同。 矩阵的乘法运算 运算符：* 条件: 前一个矩阵的列数必须等于后一个矩阵的行数，或者其中一个是标量。 理解: 可以理解为前一个矩阵每个行的元素分别与后一个矩阵对应列的元素相乘后相加。 矩阵的除法运算 运算符：/ 和 / 表示右除，相当于将矩阵放在除号的右侧。 `` 表示左除，相当于将矩阵放在除号的左侧。 区别: 右除： A / B 等价于 A * inv(B)，其中 inv(B) 表示 B 的逆矩阵。 左除： A B 等价于 inv(A) * B，其中 inv(A) 表示 A 的逆矩阵。 应用: 线性方程组 Ax = b 可以使用矩阵除法求解，其中： A 是 n 维可逆方阵 b 是 n 维向量 可以使用 x = A b 求解 x。

在Linux环境下成功实现矩阵乘法的MPI并行运算。使用命令 mpicc -o 编译程序，并通过 mpirun 命令运行。

这个 MATLAB 项目提供了一种高效的算法，用于计算任意大小的全矩阵和稀疏矩阵的克罗内克积矩阵乘法。它避免了显式构造庞大的克罗内克积矩阵，从而节省内存和计算时间。 该算法的核心思想是将向量 x 视为多维数组，并利用克罗内克积的性质，逐维应用线性变换 Q{i}。 特别地，当只涉及两个矩阵 (Q{1}, Q{2}) 和一个向量 x 时，利用恒等式 (Q{2} ⊗ Q{1}) * vec(x) = vec(Q{1} * x * Q{2}') 进行高效计算，其中 vec(x) 表示将向量 x 转换为列向量的操作。 该算法扩展了此恒等式以适应包含两个以上矩阵或具有多列的 x 的情况，提供了一种通用的快速克罗内克积矩阵乘法解决方案。

这项改进稍微修改了MATLAB用于GPU数组的梯度计算函数，显著提高了处理大型数组（例如1024*256数组）的速度，速度提升达到2-5倍。

通过Matlab编写动态规划算法，分析了矩阵链乘法中如何求解最少的乘法次数，并详细展示了如何通过优化加括号方式来实现。例如，对于矩阵链 M1…M5，提供了有效的上三角矩阵操作示例。

然而，这本书采取了另一种方法。本书面向开发或维护MATLAB应用程序的学生、科学家和工程师，希望通过GPU编程加速其代码，同时不失MATLAB提供的诸多优势。本书的读者可能对MATLAB编码有一定或较多的经验，但对并行架构不甚熟悉。

Python实现矩阵乘法代码D4M模块是适用于Python的工具，可以将非结构化数据表示为稀疏矩阵中的三元组，并支持标准线性代数运算。使用D4M，您可以轻松构建高级分析，无需大量代码。最初由Jeremy Kepner博士及其林肯实验室团队在MATLAB中开发，现已用本机Python实现。D4M项目目前已经实现了内核功能，并具备基本的Accumulo / Graphulo连接功能。详细安装和使用说明请参见官方文档。