MATLAB中实现了基于内部迭代的Krylov子空间迭代求解器LP内点方法的无标度代码。该代码由C. Y. Cui,K. Morikuni,T. Tsuchiya和K. Hayami编写,首版发布于2015年8月,并于2019年11月进行了最新更新。该项目根据GNU许可条款授权。详细引用信息请参见:Cui Y., Morikuni K., Tsuchiya T., Hayami K.(2019)基于内部迭代的Krylov子空间迭代求解器LP内点方法的MATLAB实现。计算应用,74(2019),143。如果在研究中使用此代码,请引用相应的论文。
基于内部迭代的Krylov子空间迭代求解器LP内点方法的MATLAB无标度代码实现
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输入: 初始猜测值 x0,精度要求 eps,最大迭代次数 N0
输出: 迭代次数 i 和近似解 x,或失败信息
步骤:
设置 i = 1
当 i ≤ N0 时,执行步骤 3-6
计算:
x1 = g(x0)
x2 = g(x1)
x = x0 - (x1 - x0)^2 / (x2 - 2x1 + x0)
如果 |x - x0| < eps>
否则,令 x0 = x,i = i + 1,返回步骤 2
如果 i > N0,则输出失败信息,表示在最大迭代次数内未找到满足精度要求的解
注意: g(x) 为原方程的等价形式,例如对于方程 f(x) = 0,可以将其改写为 x = g(x) 的形式。
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1. 核心算法:
欧拉方法作为一种基础数值方法,用于求解常微分方程的近似解。其核心思想是利用当前时刻的函数值和导数值,通过线性近似来估计下一时刻的函数值。
2. 代码结构:
代码主要包含以下模块:
初始化: 设置初始条件,包括时间步长、初始位置和速度等。
迭代计算: 基于欧拉方法公式,进行迭代计算,更新粒子位置和速度。
结果输出: 将计算结果输出或进行可视化展示。
3. 应用示例:
FMPS求解器可应用于多个领域,例如:
流体力学: 模拟流体运动,如粒子在流体中的轨迹。
粒子系统: 模拟大量粒子的运动,如烟雾、火焰等效果。
物理模拟: 模拟物理现象,如弹簧振子、行星运动等。
4. 优势:
简单易懂,便于实现和理解。
计算效率高,适用于实时模拟。
5. 局限性:
精度有限,时间步长过大会导致误差累积。
稳定性受限,对于某些问题可能出现数值不稳定现象。
总结:
该项目为FMPS求解器提供了一种基于欧拉方法的MATLAB实现,并展示了其应用潜力。未来可进一步探索更高阶数值方法,提高求解精度和稳定性。
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