MATLAB实现主成分回归数学建模算法

这段MATLAB代码实现了快速主成分回归（PCR）。您可以下载fastpcr.m，lanczos.m，ridgeInv.m和robustReg.m，或直接将它们包含在项目目录中。主成分回归（PCR）是一种常见有效的正则化线性回归形式。它通过计算限制在A的顶部奇异矢量跨越的空间内的解决方案来解决标准线性回归问题。fastpcr通过矩阵多项式方法（显式或隐式的Lanczos方法）完全避免了标准特征分解的计算瓶颈。

本资源面向参加数学建模竞赛以及对数学建模有浓厚兴趣的学习者。内容涵盖常用数学建模算法原理讲解以及MATLAB实现，帮助学习者快速掌握数学建模的核心技能。 资源内容结构如下： 第一部分：常用数学建模算法原理 线性规划 非线性规划 动态规划 排队论 图论 ...... 第二部分：MATLAB在数学建模中的应用 MATLAB基础语法 MATLAB数据可视化 常用数学建模算法MATLAB实现 ...... 学习者可以通过本资源系统学习数学建模相关知识，并通过MATLAB进行实践操作，提升解决实际问题的能力。

这篇文章包含了Andrew Ng教授在Coursera机器学习课程中关于主成分回归的MATLAB代码实现，以及相应的Python示例。课程原本是在MATLAB环境下完成的，现在转换到了Python，并且每个Jupyter笔记件中都有详细的功能定义。

本存储库包含Andrew Ng课程中若干练习的Python实现。课程要求学习者使用Octave/MATLAB实现算法如线性回归和逻辑回归，而其他作业则基于课程提供的代码。我将大部分代码改为了现有的Python实现，如Scikit-learn。目前包括线性回归、逻辑回归、多类分类与神经网络、神经网络学习、正则化线性回归与偏差方差、支持向量机、K均值聚类和主成分分析、异常检测与推荐系统等。

这些文件源自Andrew Ng的Coursera机器学习课程，最初于2014年6月开设。课程已转为按需版本，学习者可在Coursera平台上找到。每周重点探讨不同的机器学习算法，包括线性回归、逻辑回归、多类别分类和预训练神经网络、神经网络、正则化线性回归、过拟合、支持向量机、K均值聚类和主成分分析、异常检测与系统重建。完成家庭作业需要进入相应子目录并运行对应的exn.m文件（n为1-8），例如第三周对应ex3.m。

介绍了利用主成分分析（PCA）算法实现图像压缩的MATLAB源代码。PCA是一种线性变换算法，可以将高维数据降维到低维空间中，同时保留数据的关键信息。在图像压缩中，PCA可以将原始图像表示为其主成分的线性组合，从而有效地减少图像文件的大小，而又不显著影响其视觉质量。MATLAB源代码提供了详细的分步指南，包括图像预处理、PCA分解、降维和图像重建的步骤。此外，代码还提供了可视化结果，以展示PCA在图像压缩中的效果。

判别分析是一种统计方法，可用于识别不同类别间的最佳线性组合。它主要用于分类问题，将观测数据分配到预定义类别。判别分析有两种类型：- 线性判别分析 (LDA) 寻找线性投影轴，以最大化类别间差异，同时最小化类别内差异。它考虑了类别信息，与主成分分析 (PCA) 不同。- 二次判别分析 (QDA) 不要求类别协方差矩阵相等，每个类别具有独立协方差矩阵。

Matlab代码实现了主成分分析（PCA）方法。

深入解析主成分分析 (PCA) 的数学基础 主成分分析 (PCA) 是一种强大的降维技术，广泛应用于数据分析和机器学习领域。其核心思想是将高维数据集转换为低维数据集，同时保留尽可能多的原始信息。 PCA 的基本算法步骤： 数据标准化: 将原始数据矩阵进行标准化处理，使每个特征的均值为0，方差为1。 计算协方差矩阵: 计算标准化后的数据矩阵的协方差矩阵。 特征值和特征向量: 计算协方差矩阵的特征值和对应的特征向量。 选择主成分: 根据特征值的大小对特征向量进行排序，选择前 k 个特征向量作为主成分。 数据降维: 将原始数据投影到选定的 k 个主成分上，得到降维后的数据矩阵。 PCA 的数学原理： PCA 的数学基础是线性代数中的特征值分解和奇异值分解。 特征值分解: 协方差矩阵是对称矩阵，可以进行特征值分解。特征值代表了数据在对应特征向量方向上的方差大小，特征向量则代表了数据变化的主要方向。 奇异值分解: 当数据矩阵不是方阵时，可以使用奇异值分解来代替特征值分解。奇异值分解可以将数据矩阵分解为三个矩阵的乘积，其中一个矩阵包含了数据的主要信息。 总结： PCA 通过寻找数据变化最大的方向 (主成分) 来实现降维。主成分是原始特征的线性组合，能够最大程度地保留数据的方差信息。