线性代数的研究对象-IBM知识管理白皮书

关于向量空间，有以下常规且常用的定义：1. 若S是数域F上向量空间V的子集，且在S上限制V的加法和F对V的数乘，使得S也成为一个向量空间，则称S为V的子空间。2. 若V₁，...，Vₙ是域F上的向量空间，令V = {(v₁,...,vₙ) ∣ vᵢ ∈ Vᵢ，i = 1,...,n}，在其上定义加法(u₁,...,uₙ) + (v₁,...,vₙ) = (u₁+v₁,...,uₙ+vₙ)，F对V的数乘为r(u₁,...,uₙ) = (ru₁,...,ruₙ)，这里r ∈ F，则V成为一个向量空间，称为向量空间V₁，...，Vₙ的直和（direct sum），记作V = V₁ ⊕⋯⊕ Vₙ。若S是向量空间V的一个子空间，并存在子空间T使得V = S ⊕ T，则称T为S的补（complement），记作Sᶜ。可证V的任一子空间一定有补。3. 向量空间V中的一个非空子集S称为线性无关，若从r₁v₁ +⋯+ rnvn = 0可推出r₁ = ⋯ = rn = 0，这里vᵢ ∈ S，rᵢ ∈ F。若V中一个子集不是线性无关，则称其为线性相关。4. 向量空间V的一个集合T称为生成V，若V中的每个向量都可以写成T中某些向量的线性组合，即对每个v ∈ V，都可表示为v = r₁u₁ +⋯+ rmum。

§7.3讨论Euclid空间V中的线性函数及其定义。一个实函数f(α)，其中α ∈ V，如果对所有λ， λ ∈ R和α， α ∈ V，满足f(λα + λα) = λ f(α) + λ f(α)，则称其为V上的线性函数。例如，对于定向量β ∈ V，内积(α， β)也是V上的线性函数，记作fβ(α)。进一步，如果f(α)是V上的线性函数，则f() = 。对于任意λ， λ， . . . ， λk ∈ R和α， α， . . . ， αk ∈ V，有f( k ∑ j= λ jα j) = k ∑ j= λ j f(α j)。记Euclid空间V上所有线性函数的集合为V∗。定义V∗中的加法操作为f与f ∈ V∗时，对任意α ∈ V，有f + f(α) = f(α) + f(α)。

在Euclid空间的线性函数概念可以推广到酉空间。定义8.2.1指出，如果对于酉空间V中任意的α， α和复数λ， λ，函数f (λα + λα) = λ f (α) + λ f (α)，则称f (α)为V的线性函数。集合V∗表示n维酉空间V的所有线性函数，是一个复线性空间，称为V的对偶空间。映射σ将酉空间V映射到其对偶空间V∗，形成线性空间的同构映射。利用映射σ，可以证明如果{β， β， . . . ， βn}是V的基，则{ fβ ， fβ ， . . . ， fβn}是V∗的一组基，称为{β， β， . . . ， βn}的对偶基。线性变换A在V的内积下的伴随变换A ∗定义为使得(A (α)， β) = (α， β̃)成立的唯一向量β̃ ∈ V的线性变换。A ∗具有多种性质，如加法、数乘和乘法的线性性质，以及对偶空间不变子空间的正交补。定义8.2.2引入了酉相似的概念，即如果存在酉方阵U使得B =U∗AU，则称方阵A与B为酉相似。

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