关于向量空间，有以下常规且常用的定义：1. 若S是数域F上向量空间V的子集，且在S上限制V的加法和F对V的数乘，使得S也成为一个向量空间，则称S为V的子空间。2. 若V₁，...，Vₙ是域F上的向量空间，令V = {(v₁,...,vₙ) ∣ vᵢ ∈ Vᵢ，i = 1,...,n}，在其上定义加法(u₁,...,uₙ) + (v₁,...,vₙ) = (u₁+v₁,...,uₙ+vₙ)，F对V的数乘为r(u₁,...,uₙ) = (ru₁,...,ruₙ)，这里r ∈ F，则V成为一个向量空间，称为向量空间V₁，...，Vₙ的直和（direct sum），记作V = V₁ ⊕⋯⊕ Vₙ。若S是向量空间V的一个子空间，并存在子空间T使得V = S ⊕ T，则称T为S的补（complement），记作Sᶜ。可证V的任一子空间一定有补。3. 向量空间V中的一个非空子集S称为线性无关，若从r₁v₁ +⋯+ rnvn = 0可推出r₁ = ⋯ = rn = 0，这里vᵢ ∈ S，rᵢ ∈ F。若V中一个子集不是线性无关，则称其为线性相关。4. 向量空间V的一个集合T称为生成V，若V中的每个向量都可以写成T中某些向量的线性组合，即对每个v ∈ V，都可表示为v = r₁u₁ +⋯+ rmum。