动态规划算法：深度解析与应用实例
动态规划，一种解决复杂问题的有效策略，通过将问题分解为相互关联的子问题，并存储子问题的解以避免重复计算，从而提高效率。其核心思想在于“记住求过的解”，适用于解决具有最优子结构和重叠子问题性质的问题。
算法流程：
- 定义状态: 明确问题的状态空间，每个状态对应一个子问题的解。
- 确定状态转移方程: 建立状态之间的联系，描述如何通过已知状态推导出未知状态。
- 设置初始状态: 确定基础情况，作为递归的终止条件。
- 状态转移与求解: 根据状态转移方程，逐步递推，最终求得目标状态的解。
应用案例：
1. 爬楼梯问题
假设你正在爬楼梯，每次你可以爬 1 或 2 个台阶。有多少种不同的方法可以爬到 n 级台阶？
状态定义: dp[i] 表示爬到第 i 级台阶的不同方法数。
状态转移方程: dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
初始状态: dp[0] = 1, dp[1] = 1
2. 最长公共子序列问题
给定两个字符串 text1 和 text2, 返回它们的最长公共子序列的长度。
状态定义: dp[i][j] 表示 text1 的前 i 个字符和 text2 的前 j 个字符的最长公共子序列的长度。
状态转移方程:
* 若 text1[i - 1] == text2[j - 1], 则 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
* 否则，dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])
初始状态: dp[0][j] = 0, dp[i][0] = 0
总结
动态规划是一种强大的算法技术，通过巧妙地利用子问题的解，能够高效地解决许多复杂问题。掌握其核心思想和应用技巧，对于提升算法能力具有重要意义。