牛顿迭代法

详细介绍了在数值分析中利用牛顿迭代法求解非线性方程的精确解方法。

matlab在解决非线性方程（使用简单迭代法、牛顿法和弦割法）方面有着广泛的应用。

【新手探索】使用Matlab编写的程序，演示了如何利用牛顿迭代法精确求解方程的根。

利用迭代法求解方程的根 输入: 初始猜测值 x0，精度要求 eps，最大迭代次数 N0 输出: 迭代次数 i 和近似解 x，或失败信息 步骤: 设置 i = 1 当 i ≤ N0 时，执行步骤 3-6 计算： x1 = g(x0) x2 = g(x1) x = x0 - (x1 - x0)^2 / (x2 - 2x1 + x0) 如果 |x - x0| < eps> 否则，令 x0 = x，i = i + 1，返回步骤 2 如果 i > N0，则输出失败信息，表示在最大迭代次数内未找到满足精度要求的解 注意: g(x) 为原方程的等价形式，例如对于方程 f(x) = 0，可以将其改写为 x = g(x) 的形式。

高斯赛德尔迭代方法的MATLAB实现如下：首先，将线性方程组Ax = b转化为适合迭代的形式。通过设置初始值并利用高斯赛德尔迭代公式，逐步更新解的值，直到满足设定的收敛条件。以下是实现的代码示例： function x = gauss_seidel(A, b, x0, tol, maxIter) n = length(b); x = x0; for k = 1:maxIter x_old = x; for i = 1:n sum1 = A(i, 1:i-1) * x(1:i-1); sum2 = A(i, i+1:n) * x_old(i+1:n); x(i) = (b(i) - sum1 - sum2) / A(i, i); end if norm(x - x_old, inf) < tol> 使用示例： A = [4, -1, 0, 0; -1, 4, -1, 0; 0, -1, 4, -1; 0, 0, -1, 3]; b = [15; 10; 10; 10]; x0 = zeros(size(b)); tol = 1e-5; maxIter = 100; x = gauss_seidel(A, b, x0, tol, maxIter);

在计算机图形学的背景下，探讨了《计算机图形学基础知识》第16.5章中的质量弹簧系统。我们将可变形形状建模为一个网格，每个顶点代表一个点质量，每条边代表一个弹簧。通过使用高斯牛顿迭代法的Matlab代码，我们根据物理定律模拟形状的动态行为。起始条件包括每个点的初始位置和速度，我们根据牛顿第二定律 $ \mathbf{f} = m \mathbf{a} $，其中 $ \mathbf{f} $ 是作用在物体上的力， $ m $ 是质量， $ \mathbf{a} $ 是加速度。通过模拟来自弹簧和外力（如重力）的力，我们实现了形状的物理动画。

牛顿法是一种求根算法，它通过迭代过程逼近函数的根。该改进算法利用二阶导数信息提高收敛速度。

高斯-赛德尔迭代法收敛性分析 本章节深入分析了高斯-赛德尔迭代法在解决优化问题时的收敛特性。具体而言，我们关注以下形式的优化问题： min f(x) = 1/2 * x^T * A * x - b^T * x s.t. x ≥ 0 其中 A 是一个对称正定矩阵。 高斯-赛德尔迭代过程可以表示为： x^(k+1) = (D-L)^(-1) * (Ux^(k) + b) D, L, U 分别代表矩阵 A 的对角线、下三角和上三角部分。 模型KKT条件 在深入研究收敛性之前，我们需要理解与优化问题相关的KKT条件。对于非负约束的极小化问题，其一般形式为： min h(x) s.t. g_i(x) ≥ 0, i = 1, ..., m 构建拉格朗日函数： L(x, λ) = h(x) - ∑_{i=1}^m λ_i * g_i(x) KKT条件提供了一组用于检查候选解是否为最优解的必要条件。这些条件包括： 平稳性: ∇_x L(x, λ) = 0 原始可行性: g_i(x) ≥ 0, i = 1, ..., m 对偶可行性: λ_i ≥ 0, i = 1, ..., m 互补松弛条件: λ_i * g_i(x) = 0, i = 1, ..., m 通过分析模型的KKT条件，我们可以深入理解其最优解的特性，并为收敛性分析提供理论基础。

这项工作仍在进行中，遇到了容差设置上的问题，但迭代次数设置看起来是有效的。

牛顿法在 MATLAB 中的实现