Fourier变换

现代高效的Fourier变换算法在Matlab中的具体实现方法。

The Fourier Transform Profilometry method in MATLAB is based on the analysis of a reference grating and a deformed grating to obtain the folded phase. After phase unwrapping, the height information of the object is derived based on the relationship between phase and height.

傅立叶变换函数 傅立叶变换既可以对连续信号进行变换，也可以对离散信号进行变换。本小节只介绍离散傅立叶变换。

本程序实现了图像的傅里叶变换，并通过测试验证了傅里叶变换的旋转不变性。通过MATLAB对不同的图像进行傅里叶变换，可以观察到其频域特征的变化，从而验证变换的有效性和可靠性。

地震成像裂步Fourier法，即split-step Fourier脉冲响应，在地震成像中具有重要应用。

图3.10展示了情感为悲伤的EEMD分解结果。

任意y，如果学生95002选修了y，那么学生x也选修了y。不存在这样的课程y，学生95002选修了y，而学生x没有选。

Quantarhei 是一个主要用 Python 编写的 分子系统开放量子系统模拟器。它的名字来源于希腊哲学家赫拉克利特的著名格言“潘塔·瑞”（Panta rhei），意指“一切都在流动”或“一切都在变化中”。这一名称非常符合模拟的主题，尤其是在处理 量子系统 时，当‘Panta’替换为‘Quanta’，则显示了其量子性质。在 Quantarhei 中，最后四个字母（‘rhei’）使用希腊文书写，符合 LateX 约定，即（‘\rho \epsilon \iota’）。该框架不断发展，并已经提供了用于定义分子及其聚集体与外部环境相互作用的辅助类。Quantarhei 支持通过各种 Redfield 和 Förster 理论来计算单个分子和其聚集体的吸收光谱及激发能量传递动力学。所有实现的方法和理论都提供了 Python 代码，并允许通过使用 C、Fortran 或其他低级语言编写的优化例程来扩展和替换这些代码。最初开发阶段，重点放在为分子系统的模拟提供有效的 傅里叶反变换 方法和工具。

自伴变换与斜自伴变换 除了正交变换，欧氏空间中还有两类重要的规范变换：自伴变换和斜自伴变换。 定义 设 A 是 n 维欧氏空间 V 的线性变换。 如果 A 与它的伴随变换 A∗ 相同，即 A = A∗，则 A 称为自伴变换。 如果 A 满足 A∗ = −A，则 A 称为斜自伴变换。 线性变换 A 是自伴变换的充分必要条件是：对任意 α，β ∈ V，均有 (A(α), β) = (α, A(β))。 线性变换 A 是斜自伴变换的充分必要条件是：对任意 α，β ∈ V，均有 (A(α), β) = −(α, A(β))。 自伴变换和斜自伴变换都是规范变换。当然，除了正交变换、自伴变换以及斜自伴变换外，还有其他的规范变换。 自伴变换 定理 n 维欧氏空间 V 的线性变换 A 是自伴变换的充分必要条件是：A 在 V 的标准正交基下的方阵是对称方阵。 证明 设线性变换 A 在 V 的标准正交基 {α₁, α₂, ..., αn} 下的方阵是 A，则 A 的伴随变换 A∗ 在这组基下的方阵是 AT。于是 A∗ = A 等价于 AT = A。∎ 定理表明，如果在 n 维欧氏空间 V 中取定一组标准正交基 {α₁, α₂, ..., αn}，V 的自伴变换 A 便和它在这组基下的方阵相对应。这一对应是 V 的所有自伴变换集合到所有 n 阶实对称方阵集合上的一个双射。于是自伴变换即是是对称方阵的一种几何解释。 由于自伴变换是规范变换，因此关于规范变换的结论可以移到自伴变换上。当然，由于自伴变换是特殊类型的规范变换，所以相应的结论也带有某种特殊性。 由实对称方阵的特征值都是实数可知，自伴变换的特征值也都是实数。 定理 设实数 λ₁, λ₂, ..., λn 是 n 维欧氏空间 V 的自伴变换 A 的全部特征值，其中 λ₁ ≥ λ₂ ≥⋯ ≥ λn。则存在 V 的一组标准正交基，使得 A 在这组基下...

这段代码使用Matlab进行图像处理，重点介绍了傅里叶正反变换及其频域表示，以及实现理想方形低通滤波器和Butterworth滤波器。编写过程充满挑战，因为长时间未使用Matlab，开始时不免有些混淆，甚至中途不经意间开始写Python！最终幸运地完成了这一任务，也成为全班第一完成者。