数值分析编程汇总

汇总了数值分析中常用的编程方法，涵盖线性方程、插值、拟合、数值微分与积分、矩阵特征值求解和常微分方程等各类数值方法，提供了详细的解决方案与适用情况。

1. 线性方程组的直接法

  • Gauss消去法：通过逐步消元解出方程组。
  • 矩阵三角分解法：Doolittle分解法相比Crout分解法更常用，包含列主元的选择改进方法。
  • Cholesky分解法：对称正定矩阵的平方根分解方法。
  • 追赶法：适用于三对角矩阵作为系数矩阵的情况。

2. 线性方程组的迭代法

  • Jacobi迭代法
  • Gauss-Seidel迭代法：利用前次迭代更新加速收敛。
  • 逐次超松弛法（SOR）：增强收敛速度的改进方法。

3. 函数拟合的插值法

  • 拉格朗日插值法
  • 牛顿插值法

4. 函数逼近方法

  • 引入了函数范数和函数内积的概念：\( \infty \)-范数用于最佳一致逼近，2-范数用于最佳平方逼近。

5. 数值积分与数值微分

  • 适用于多种函数和区间条件。

6. 非线性方程及方程组的数值方法

  • 不动点迭代、牛顿法、割线法等常用方法。

7. 矩阵特征值的数值解法

  • 乘幂法与反幂法。

8. 常微分方程的数值解法

  • 欧拉方法、龙格-库塔法。