5.5.1 求解偏微分方程的一般介绍可以使用偏微分方程工具箱(Partial Differential Equation Toolbox),它位于安装目录下Toolbox子目录的pde目录之下。偏微分方程,也称为PDE,是Partial Differential Equation的简称。在MATLAB中,可以通过命令窗口输入pdetool命令来访问求解器。关于MATLAB中求解偏微分方程的理论基础和方法,请使用其自带的帮助文件学习(MATLAB 7.0→菜单窗口【Help】→【Full Product Family Help】→ 【Contents】→【Partial Differential Equation Toolbox】)。此外,还可以通过MATLAB提供的典型算例进行学习(MATLAB 7.0→菜单窗口【Help】→【Full Product Family Help】→【Demos】→ 【Toolboxes】→【Partial Differential Equation】→【Command Line Demos】)。图5-3展示了MATLAB中偏微分方程求解器的使用情况,图5-4则展示了如何使用MATLAB自述文件学习偏微分方程的求解方法。
解决偏微分方程的方法——3D视觉探索邀请(Yima 2004)全文下载
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有限差分法
有限元法
谱方法
掌握这些方法将为您提供坚实的基础,以便使用MATLAB有效地解决偏微分方程。
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选择应用模式
构建几何模型
定义边界条件
指定方程类型和系数
进行三角形网格剖分
求解方程
图形化显示解
其中 1-5 步属于前处理,7 步为后处理。
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MATLAB的pdepe指令可以解决形如以下的偏微分方程:
[m frac{partial c}{partial t} + frac{partial }{partial x} left( f(x,t,u, frac{partial u}{partial x}) right) = s(x,t,u, frac{partial u}{partial x}) ]
其中,时间范围为 (0 leq t leq t_f), 空间范围为 (a leq x leq b)。参数m表示问题的对称性,可取0(平板)、1(圆柱)或2(球体)。当(m > 0)时,a必须等于b,表示圆柱或球体的对称性。
方程式中各项的含义如下:
(f(x,t,u, frac{partial u}{partial x})) 表示流通量(flux)。
(s(x,t,u, frac{partial u}{partial x})) 表示来源项(source)。
(c(x,t,u, frac{partial u}{partial x})) 表示偏微分方程的对角线系数矩阵。对角线元素为0表示椭圆型偏微分方程,为正值表示抛物型偏微分方程。
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