MATLAB求解一维状态空间偏微分方程

利用MATLAB工具箱求解偏微分方程

MATLAB的pdepe指令可以解决形如以下的偏微分方程：

[m frac{partial c}{partial t} + frac{partial }{partial x} left( f(x,t,u, frac{partial u}{partial x}) right) = s(x,t,u, frac{partial u}{partial x}) ]

其中，时间范围为 (0 leq t leq t_f), 空间范围为 (a leq x leq b)。参数m表示问题的对称性，可取0（平板）、1（圆柱）或2（球体）。当(m > 0)时，a必须等于b，表示圆柱或球体的对称性。

方程式中各项的含义如下：

• (f(x,t,u, frac{partial u}{partial x})) 表示流通量（flux）。
• (s(x,t,u, frac{partial u}{partial x})) 表示来源项（source）。
• (c(x,t,u, frac{partial u}{partial x})) 表示偏微分方程的对角线系数矩阵。对角线元素为0表示椭圆型偏微分方程，为正值表示抛物型偏微分方程。

离散化方法

类似于抛物型方程的处理方法，我们将xt平面剖分成矩形网格，x方向步长为h，t方向步长为τ。通过不同的差商近似偏导数，可以得到方程的不同差分格式，并结合离散化的初始条件，得到最终的差分格式。