卡方分布与样本标准差抽样分布的模拟验证

本部分通过程序模拟和理论验证，阐述了卡方分布与标准正态分布平方和之间的关系，以及样本方差经变换后与卡方分布的关联。

1. 标准正态分布平方和与卡方分布的关系

  • 生成 10 组服从标准正态分布的随机样本 (x1-x10)，每组样本容量为 1000。
  • 将每组样本的随机变量平方后求和，得到 10 个新的变量 (y1-y10)，其中 y1=x1^2，y2=x1^2+x2^2，以此类推。
  • 绘制 y2、y4、y10 的直方图，观察其分布形态。
  • 使用卡方分布的密度函数，分别绘制自由度为 2、4、10 的卡方分布曲线。
  • 对比直方图和卡方分布曲线，可以发现 y2、y4、y10 的分布分别接近自由度为 2、4、10 的卡方分布，验证了卡方分布可由标准正态分布的平方和推导而来。

2. 样本方差与卡方分布的关系

  • 假设总体服从正态分布，根据抽样分布理论，样本方差经过如下变换后服从卡方分布： (n-1)*S^2/σ^2 ~ χ^2(n-1) 其中，n 为样本容量，S^2 为样本方差，σ^2 为总体方差。
  • 通过模拟随机抽样来理解上述关系：
    • 生成一组服从 N(5,10^2) 的随机样本，样本容量为 n。
    • 计算样本方差 S^2。
    • 将 (n-1)*S^2/σ^2 作为卡方分布的随机变量，并绘制其直方图。
    • 与理论上的卡方分布密度曲线进行比较，验证两者的一致性。

结论：

通过程序模拟和理论验证，我们可以直观地理解卡方分布与标准正态分布平方和之间的关系，以及样本方差经变换后服从卡方分布的统计学原理。