在处理大数据或流式数据时，传统的方差计算方法需要遍历所有数据，效率低下且占用大量存储空间。方差递推公式可以解决这个问题，它允许我们根据之前状态的均值、方差、数据量以及当前数据项，动态计算当前状态的方差，而无需存储所有历史数据。
方差递推公式推导过程：
假设我们已经计算出了前 n 个数据的均值为 (bar{x}n) ，方差为 (s_n^2) ，现在新增一个数据 (x{n+1}) ，我们需要计算前 n+1 个数据的方差 (s_{n+1}^2) 。
首先，我们可以根据均值的定义，得到前 n+1 个数据的均值 (bar{x}_{n+1}) ：
(bar{x}{n+1} = frac{nbar{x}_n + x{n+1}}{n+1})
然后，我们可以将方差的定义式展开：
(s_{n+1}^2 = frac{1}{n+1}sum_{i=1}^{n+1}(x_i - bar{x}_{n+1})^2)
将 (bar{x}_{n+1}) 代入上式，经过一系列的化简，我们可以得到：
(s_{n+1}^2 = frac{n}{n+1}s_n^2 + frac{n}{(n+1)^2}(x_{n+1}-bar{x}_n)^2)
这个公式就是方差递推公式，它让我们可以在已知前 n 个数据的均值、方差、数据量的情况下，通过简单的计算得到前 n+1 个数据的方差，而无需存储所有历史数据，极大地提高了计算效率。