自动微分

自动微分（AD）是机器学习和优化领域中相当关键的技术。autodiff 库了一个高效且简洁的方式来进行自动微分，是在 C++中进行高阶导数和Hessian 矩阵计算时，有用。这个库和流行的Eigen 库集成，能够让你轻松矩阵运算、向量计算等线性代数问题，且计算精度更高，性能也不错。 通过这个autodiff_test.zip文件，你可以在VS2017环境下进行实际操作，理解如何使用这个库进行微分计算，包括高阶导数、Hessian 矩阵等。你可以在 Visual Studio 里直接打开autodiff_test.sln文件，进行编译和运行，实际操作一把会更有。 值得注意的是，Hessian 矩

自动微分利用链式法则精确计算函数的导数。Matlab对象简化了自动微分的实现，尽管此程序包适用于Matlab的较旧版本，仍可在较新版本中进行调整。以Rosenbrock函数在点[1,2]处的计算为例：定义x=adiff([1,2]); 然后计算Rosenbrock函数罗森= 100*(x(1)^2-x(2))^2+(x(1)-1)^2; 最后通过adiffget函数获取计算结果。adiff对象还提供一个便捷的函数，将无导数的优化问题转化为有导数的优化过程。

借助 Matlab 工具，探索求解微分方程的方法。本教程涵盖解析解和数值解的求解技巧，并提供实例和实验作业，加深理解。

使用 dslove() 函数可求解微分方程符号解。其格式为：s=dslove(‘eq1’,‘eq2’,…,‘eqn’,‘cond1’,‘cond2’,…, ‘condn’,‘v’)其中‘cond1’, ‘cond2’,…, ‘condn’,‘v’可选，默认为独立变量 t。

阐述了Matlab在解决微分方程及数学建模中的应用实例。

（三）Matlab软件被广泛用于求解常微分方程的数值解。在Matlab中，可以使用ode45、ode23、ode113等函数来求解常微分方程。这些函数基于龙格-库塔方法，如ode23采用组合的2/3阶龙格-库塔-芬尔格算法，而ode45采用组合的4/5阶龙格-库塔-芬尔格算法。用户可以通过设定误差限来调整求解精度，例如设置相对误差和绝对误差的值。命令格式如下：options=odeset('reltol', rt, 'abstol', at)，其中rt和at分别表示相对误差和绝对误差的设定值。

提供微分方程解代码

微分方程的解法一直是建模里绕不开的话题，MATLAB的工具箱是真的挺给力，适合新手入门。数学实验里的第四个任务就是搞定微分方程的求解，用MATLAB来做还挺省事的，不光能数值解，连符号解也能整。像ode45这种函数，用起来挺顺手的。只要定义好微分方程、初始条件和时间范围，一行代码就能跑出结果。如果你习惯看代码示例，可以看看这个基本示例，讲得还蛮清楚的，连图都画了。要是你对建模比赛感兴趣，国赛微分方程类获奖论文也可以瞄一眼，看看人家是怎么建模和解题的。实在搞不懂符号解和数值解区别？别急，这篇符号解法文章可以帮你理清思路。如果你经常写代码，建议写个通用模板，比如：function dydt = m

MATLAB 使用 Runge-Kutta-Fehlberg 方法解 ODE 问题，以有限个点进行计算，点间距由解本身决定。 可使用 ode23 求解 2-3 阶常微分方程组，使用 ode45 使用 4-5 阶 Runge-Kutta-Fehlberg 方法。 例如，在命令行中使用 ode45 函数代替 solver，其中 x' 是 x 的微分，而非 x 的转置。

MDIFF 函数通过数值微分计算向量 Y 相对于 X 的高阶导数，并将其存储在 DERIVATIVES 矩阵中。DERIVATIVES 的第一行包含一阶导数，后续行依次包含更高阶导数。当 m 为 1 时，MDIFF 会返回 Y 相对于 X 的梯度向量。由于数值微分过程可能引入噪声，可通过滤波或使用更稳定的微分算法加以改善。