求根算法

抛物线法，也称为密勒法，利用二次多项式逼近方程的根。 假设已知方程 f(x) = 0 的三个近似根，可以找到一个二次多项式 P2(x) 使其图像经过这三个点。 这个二次多项式可以看作是对原函数 f(x) 的近似。 因此，可以通过求解 P2(x) = 0 的根来逼近原方程的根。

在MATLAB中，多项式求根命令用于求解多项式的根。通过使用内置的roots函数，可以轻松找到给定多项式的所有根。比如，在以下例子中，求解多项式的根，得到的结果为： p = [1 -6 11 -6]; % 定义多项式系数 r = roots(p); % 求解根 disp(r); % 显示根 此代码返回该多项式的根。利用roots命令，用户可以快速求得任何多项式的解。

在数值计算中，求解方程的根通常只能得到近似解。理解和量化这些近似解的误差至关重要。 误差来源 截断误差: 由算法本身引入，例如用有限项泰勒展开式逼近函数。 舍入误差: 由于计算机有限精度表示数字而产生。 误差估计方法 后验误差估计: 利用已得的近似解来估计误差，例如通过迭代残差或者相邻两次迭代结果的差值。 先验误差估计: 在计算开始前预估误差，这通常需要对问题本身和算法特性有较深入的了解。 控制和减少误差 选择合适的算法: 某些算法对特定问题或误差类型更为稳健。 提高计算精度: 例如使用更高精度的浮点数表示。 迭代终止准则: 设定合理的迭代停止条件以平衡计算成本和解的精

Newton割线法是一种通过不断逼近目标来求方程根的数值方法。通过调整点 $P$ 和 $Q$ 的位置，可以逐步找到根的位置。具体操作如下： 试位法：选择初始点 P 和 Q。通过判断函数值的正负性，可以估计根的大致范围。 割线法迭代：基于前两个试位点 P 和 Q，求出割线交点，通过迭代更新点的位置，逐渐收敛到方程的根。 可视化演示：使用点 P 和 Q 表示根的逼近过程，每次迭代不断缩小两点间距，以求更精确的结果。

给定方程若为根，迭代过程需满足：（1）在根的某个邻域内具有直到p阶的连续导数；（2）当初值足够接近时，迭代过程是p阶收敛的。特别地，当p＝1时，要求迭代过程为线性收敛。

当方程中收敛因子p等于1时，可推出迭代公式具有局部收敛性。

非线性方程的求根方法，真是数值计算里一个老生常谈但又常常让人头疼的点。这份《第二讲方程求根.ppt》讲得还蛮系统的，不只是讲了单个方程的解法，像非线性方程组也提到了，还顺带讲了下怎么跟微分方程和 GPS 定位这类实际问题扯上关系，挺有意思的。 非线性的非、真的不是吓唬人哈。多线性问题，其实都是非线性问题在特定条件下的“妥协”方案。所以你要是只会线性的，遇到真实场景就容易吃瘪。像什么f(x) = 0，或是多变量方程组，这类问题随便一抓一大把。 讲 PPT 的朋友提到梯形算法、高阶特征值，这些听着有点数值那味儿了。其实多时候，写个牛顿迭代啥的，用在后端服务的数据校正里，效率还挺高的。所以别光看是教

控制方程求根过程的二分法，用起来是真的“老实巴交”。收敛慢但胜在稳，适合拿来当个初始值帮忙“打头阵”。啦，要是你想找偶重根或者复数根，它可就有点力不从心了。不过别急，这篇《控制对分过程终止的方法-第二讲方程求根》讲得挺清楚，思路也不绕，用来打基础还挺不错。 二分法的逻辑其实简单：一分为二，不停缩小区间，直到误差小于你设的ε。像x - x* < ε这种判断条件，基本就决定了收不收手。实用性虽然中规中矩，但在迭代法登场之前，它就像个“暖场嘉宾”，作用不小。 你要是还想拓展下，可以看看这些：Matlab 版的二分法，用起来蛮方便；或者试试牛顿割线法，收敛快不少，就是对初值要求高；想更稳一点的，

二分法的思路其实挺，但用在 MATLAB 上，效率还真不赖。先给你定个范围，比如多项式在 [a, b] 区间里有个根，两边函数值异号，一顿折半就能把根逼出来。你只需要写个小函数，逻辑清晰、代码也不多，执行效率还不错，适合初学者练手，也方便你快速定位函数零点，适合做数值计算或者算法教学。 二分法的实现关键就在于判断符号变换的位置，不断缩小区间，就能得到一个足够精确的近似根。MATLAB 里用匿名函数加 while 循环搞定，代码结构也挺直观的。比如下面这段代码： function root = bisection_method(f, a, b, tol) if f(a) * f(b) >=

这段基于Matlab编写的代码，能够有效地在给定区间内快速求解函数的根，是数值分析中一种重要的求根方法。