第四讲：MATLAB语言与现代科学计算

4.1 数值线性代数问题

在MATLAB中处理数值线性代数问题非常简便，可以创建各种特殊矩阵：

  • 零矩阵：A=zeros(m, n) 用于创建 m 行 n 列的全零矩阵。
  • 全1矩阵：A=ones(m, n) 生成 m 行 n 列的全1矩阵。
  • 单位矩阵：A=eye(m, n) 生成 m 行 n 列的单位矩阵，主对角线上为1，其余为0。
  • 随机矩阵：
  • A=rand(m, n)：生成 [0, 1] 区间内均匀分布的随机矩阵。
  • A=randn(m, n)：生成标准正态分布的随机矩阵。

此外，MATLAB提供Hilbert矩阵、伴随矩阵和特定结构的矩阵，例如：

  • Hilbert矩阵：元素定义为 H(i, j) = 1/(i+j-1)，可用 hilb(n) 函数生成。
  • 伴随矩阵：通过 compan(p) 创建，适用于多项式系数向量 p。
  • Hankel矩阵：对角线元素恒定的对称矩阵，可使用 hankel(c, r) 生成。
  • Vandermonde矩阵：由向量的幂构成，可使用 vander(v) 生成。

4.2 数值微积分

MATLAB 提供了强大的数值积分工具，例如：

  • quad：用于一维数值积分。
  • quadgk：适用于高精度无界或有界积分。
  • dblquad：处理二维积分。

4.3 数据插值与统计分析

在数据插值方面，MATLAB提供了多种方法：

  • 线性插值：interp1。
  • 样条插值：spline。
  • 最近邻插值：nearest。

对于统计分析，MATLAB提供丰富的统计函数，如概率密度函数（pdf）、累积分布函数（cdf）、假设检验（如ttest）以及回归分析工具。