一、群的概念及性质定义一个代数系统（G，），如果满足以下条件：（1）结合律成立，即对任意的a, b, c ∈ G，有(a * b) * c = a * (b * c)；（2）存在单位元素e：即对任意的a ∈ G，有a * e = e * a = a；（3）对任意元素a ∈ G，存在逆元素a⁻¹ ∈ G，使得a * a⁻¹ = a⁻¹ * a = e，则称此代数系统（G，）为群。若群（G，）满足交换律，则称（G，）为交换群或阿贝尔群。例子：由单位元素自身构成之代数系统是一个群，因为运算满足结合律，且其本身即是单位元素，它的逆元素即是它自己，故构成一个群。例子：设Z是整数集合，则（Z，+）是一个群。单位元素是0，每个元素a的逆元素为-a。例子：设GL(n)是所有n阶非奇异矩阵的集合，“·”是矩阵的乘法，则（GL(n), ·）是一个群，因矩阵的乘法满足结合律，n阶单位阵I_n即为群（GL(n), ·）的单位元素，每个元素A的逆元素为A⁻¹。例子：设Z是整数集，≡是Z上的同余关系，“［］”表示模n的剩余类。在Z上规定一个二元运算叫做加法，并用普通加法的符号来表示，则（Z/nZ, +）构成一个群，这个群叫做模n的剩余类加群。