许多算法教材提供大量精心编写的代码和正确性证明,但本书并非如此。相反,本书通过洞察力、符号和类比,帮助初学者像专家一样描述和思考算法。作者通过全局视角和逐步易懂的算法开发方法,帮助学生避免常见陷阱。他强调循环不变式和递归等范式,将大量算法统一为几种元算法。本书的目标之一是培养学生抽象思维能力,而非深陷形式证明。本书以缓慢清晰的方式呈现这些洞察力,适合计算机科学二、三年级学生,为他们解决问题找到创新途径打下基础。
算法思维的培养方法
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字符串表达式的计算
朴素算法:针对简单的算术表达式(例如 a+b*(c-d)+e),朴素算法按常规顺序执行计算。这种方法直观易懂,但在处理复杂表达式时可能效率不高。
逆波兰表达式:逆波兰表达式是无需括号来表示优先级的后缀表达式形式,通常通过栈来处理运算符和操作数。例如,上述表达式可以转化为逆波兰表达式abcd-*be+*+,并利用栈进行高效计算。
最大连续子数组
问题描述:给定一个数组,寻找其和最大的连续子数组。
示例:数组[1, -2, 3, 10, -4, 7, 2, -5]的最大子数组为[3, 10, -4, 7, 2],其和为18。
解法
暴力法:枚举所有可能的子数组并计算其和,选择其中最大的一个。该方法的时间复杂度为O(n^3),不适合大数据集。
分治法:将原数组分为左右两部分,最大子数组可能位于左侧、右侧或跨越中间位置。利用递归解决此问题,时间复杂度为O(n log n)。
前缀和法:利用前缀和,可以在线性时间内找到最大子数组。通过计算每个位置的前缀和p[i],再计算所有可能子数组的和。时间复杂度为O(n)。
动态规划法:通过动态规划,将问题简化为子问题。设S[i]为以A[i]结尾的最大子数组和,则有 S[i+1] = max(S[i] + A[i+1], A[i+1])。此算法的时间复杂度为O(n)。
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